0.999...=1

直接计算

\[\frac19=0.111... \\ 9 * \frac19=0.999... \\ 9 * \frac19=1 \\ \therefore 0.999...=1 $$ ## 设数 $$x=0.999...\\ 10 * x=9.999... \\10 * x-1 * x=9 * x=9 \\x=1 \\\therefore 0.999...=1 $$ ## 极限 $$ 0.999...=\lim_{n\to\infty}1-\frac1{10^n}\\ \lim_{n\to\infty}\frac1{10^n}=0 \\\therefore0.999...=1 \]

然而，这些都不够严谨

戴德金分割（Dedekind）

\[ 设 t=0.999......，作两个有理数集的分割 \\ A={ [x|x<t,x有理数 ]}，B={[x|x>=t,x有理数]} \\ C={[x|x<1,x有理数]}，D={[x|x>=1,x有理数]} \\ 分割A/B确定了实数t=0.999......(我们暂时不知道t=0.999...是有理数还是无理数) \\ 分割C/D确定了有理数1 \\ 为证明 t=1，我们只需要证明这两个分割是相同的，即证明 A=C \\ 若有理数 x∈A，则显然有 x<1，于是 x∈C \\ 若有理数 x∈C，则 x<1，不妨设 x>0 \\ 根据有理数的定义，我们可以把x用分数的形式表示为 \\ x=\frac pq，(p，q为正整数) \\ 既然0<x<1，则必有p< q \\ 于是由1-\frac pq>=\frac 1q>0，可得存在正整数n(\frac{p+1}q<=1 可以证明，因为p,q都是正整数)，使得 \\ \frac 1q>\frac1{10^n}>0(x是确定的数，则q存在，则比它高阶的n一定存在，不用纠结无穷大的事) \\ x=\frac pq<=1-\frac 1q<1-\frac1{10^n}=0.99...9(n个9)< t \\ 既然x<t，这就说明x∈A \\ 由上，我们就得到了A=C，从而，A/B和C/D是两个相同的分割，因此， 0.999...=t=1 \]

Orz