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intonation

interval

音程

表示两个音的频率比例

一般来说, 两个音的频率比例越简化, 这两个音的和弦听起来越和谐

比如, 高八度 (Octave) 比例为 \(2:1\)

纯五度 (Perfect Fifth) 比例为 \(3:2\)

纯四度 (Perfect Fourth) 比例为 \(4:3\)

just intonation

pure intonation, 纯律

从 \(A=440\text{Hz}\) 开始, 按照完美比例调音, 得到 \(12\) 个音

root Minor Second Major Second Minor Third Major Third Perfect Fourth Tritone Perfect Fifth Minor Sixth Major Sixth Minor Seventh Major Seventh Octave
\(1:1\) \(16:15\) \(9:8\) \(6:5\) \(5:4\) \(4:3\) \(7:5\) \(3:2\) \(5:3\) \(8:5\) \(9:5\) \(15:8\) \(2:1\)

一般来说, 音频的和谐程度从上到下:

  1. Octave

  2. Perfect Fifth / Perfect Fourth

  3. Major Third / Minor Sixth

  4. Minor Third / Major Sixth

  5. Major Second / Minor Seventh

  6. Minor Second / Major Seventh

  7. Tritone

纯律的缺点是, 由于是从 \(A\) 开始调音, 所以只有相对 \(A\) 的 Perfect Fourth 是严格的 \(4:3\), 其他调 \(5\) 间隔的音比例并不是 \(4:3\)

比如 \(\displaystyle \text{Tritone / Minor Second} = \frac{7}{5} \div \frac{16}{15}=\frac{21}{16}\)

equal temperament

平均律

常用为十二平均律

以 \(\displaystyle 2^{\frac 1 {12} }\) 为比例的等比数列

对于任意一个 \(\text{root}=2^{\frac {n} {12} }\text{Hz}\), 间隔 \(k\) 个的音为 \(2^{\frac {n+k} {12} }\text{Hz}\)

平均律的缺点在于有些和弦不是很和谐

比如 \(C\) 和弦为 \(C:E:G=1:1.1225:1.2599\)

在纯律里的 \(C\) 和弦为 \(C:E:G=8:9:10=1:1.125:1.25\)

比例不整就会导致波形不是很对的上, 所以不太和谐

具体可以去 视频 感受下

music and calendar

我有 \(12\) 个数, 我想从里面挑 \(7\) 个出来, 并且我希望挑的尽量平均

如果是挑 \(6\) 个数, 我们自然地挑出所有奇数 / 偶数, 这样是最平均的

现在多了一个, 我们可以把奇数列和偶数列做一个截断, 然后拼在一起

日历告诉我们, 我们可以挑 \([1,3,5,7],[8,10,12]\) 这 \(7\) 个数

音符告诉我们, 我们可以挑 \([1,3,5],[6,8,10,12]\) 这 \(7\) 个数

这个是从 \(\text{root}=C\) 开始按十二平均律挑的

具体为 \(C=2^{\frac{n+1}{12} }\text{Hz},D=2^{\frac{n+3}{12} }\text{Hz},E=2^{\frac{n+5}{12} }\text{Hz},F=2^{\frac{n+6}{12} }\text{Hz},G=2^{\frac{n+8}{12} }\text{Hz},A=2^{\frac{n+10}{12} }\text{Hz},B=2^{\frac{n+12}{12} }\text{Hz}\)

有个问题: 为什么这两个挑法不统一一下?

为什么音符挑了 \(6\), 日历挑了 \(7\) 呢?

  1. 搞音乐的人比较感性, ta 觉得 \(6\) 比较吉利, 所以选 \(6\); 搞日历的人比较理性, ta 觉得 \(7\) 是质数, \(6\) 是合数, ta 更喜欢质数, 所以选 \(7\)

  2. 从 \(2n\) 个数里挑 \(n+1\) 个数, 搞音乐的挑了第 \(n+0\) 个, 搞日历的挑了第 \(n+1\) 个, 所以搞音乐的喜欢当 \(0\), 搞日历的喜欢当 \(1\)

  3. 第 \(6\) 个音符与第 \(1\) 个音符相隔 \(5\) 个间隔, 比例为 \(2^{\frac{5}{12} }\approx 1.3348\approx 4/3\), 更接近相对 root 的 Perfect Fourth, 所以听起来更和谐;

    而第 \(7\) 个音符与第 \(1\) 个音符相隔 \(6\) 个间隔, 比例为 \(2^{\frac{6}{12} }=\sqrt{2}\approx 1.414\), 更接近相对 root 的 Tritone, 所以虽然看起来 \(\sqrt{2}\) 更整, 但是他的比例不如 Perfect Fourth 听起来和谐

显然 \(3\) 是比较靠谱的

  • 对于日历来说, 感觉选 \(6\) 和选 \(7\) 没啥区别?

参考:

  1. Youtube