好——下面我把抽象的环同构证明和具体的对应公式都给出，展示 CRT 与拉格朗日插值在代数结构上的完全对应（包括基元/幂等元的显式构造），并用小例子说明。过程尽量简洁但完整。

结论（先说结论，便于对照）

中国剩余定理是环同构的一种特殊形式： [ \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\ \cong\ \prod_{i=1}^k \mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z} \quad\text{（当 }n_i\text{ 两两互素， }N=\prod n_i\text{）} ] 同构通过自然映射 (x\mapsto(x\bmod n_1,\dots,x\bmod n_k)) 给出；其构造性解由一组幂等元 (e_i) 给出，数论中的 (e_i) 对应公式就是 (N_i M_i)（其中 (N_i=N/n_i,\ M_i\equiv N_i^{-1}\pmod{n_i})）。
拉格朗日插值对应的也是同一种环同构（把整数环换成多项式环）： [ \Bbbk[x]/\bigl(\prod_{i=1}^k (x-x_i)\bigr) \ \cong\ \prod_{i=1}^k \Bbbk[x]/(x-x_i) ] （对域 (\Bbbk)，若 (x_i) 两两不同）。同构中的幂等元就是拉格朗日基多项式 (L_i(x)) 的类：每个 (L_i) 满足 (L_i(x_i)=1) 且 (L_i(x_j)=0\ (j\neq i))。

这两者在抽象层面是完全平行的：把“模 (n_i)”换成“模多项式 ((x-x_i))”，把“数论中的 (N_iM_i)”换成“多项式中的 (L_i(x))”。

证明与构造（一般环的 CRT 形式）

设环 (R) 和理想 (I_1,\dots,I_k) 满足两两互补（comaximal）：对任意 (i\neq j)，有 (I_i+I_j=R)。令 (I=\bigcap_{i} I_i)。定义自然映射 [ \Phi:; R \longrightarrow \prod_{i=1}^k R/I_i,\qquad r\mapsto (r\bmod I_1,\dots,r\bmod I_k). ] 断言：若 (I_i) 两两互补，则 (\Phi) 在商上诱导出同构 [ R/I ;\cong; \prod_{i=1}^k R/I_i. ]

证明要点：

(\ker\Phi=\bigcap_i I_i = I)，显然。
(\Phi) 在像上是满的：对任意 ( (a_1+!I_1,\dots,a_k+!I_k)) 我们要构造 (r\in R) 使得 (r\equiv a_i\pmod{I_i}) 对所有 (i) 成立。利用互补性对每个 (i) 找到 (e_i\in R) 使得 [ e_i\equiv 1\pmod{I_i},\qquad e_i\equiv 0\pmod{I_j}\ (j\ne i). ] （构造法：由于 (I_i + \prod_{j\ne i} I_j = R)，存在 (u_i\in I_i, v_i\in \prod_{j\ne i} I_j) 使 (u_i+v_i=1)，取 (e_i=v_i)。）然后令 (r=\sum_i a_i e_i)。显然 (r\equiv a_i\pmod{I_i})。所以 (\Phi) 是满射，从而诱导的商映射是同构。
由于 (\ker\Phi=I)，得 (R/I\cong\prod R/I_i)。□

把一般结论套到两个具体例子上

（A）整数情形 → 中国剩余定理

取 (R=\mathbb{Z})，理想 (I_i=(n_i))。互补等价于 (n_i) 两两互素。于是 [ \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \cong \prod_{i=1}^k \mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z},\qquad N=\prod_i n_i. ] 显式构造幂等元：令 (N_i=N/n_i)，存在逆元 (M_i) 使得 (N_i M_i\equiv1\pmod{n_i})。取 [ e_i\equiv N_i M_i \pmod{N}. ] 然后 (e_i\equiv1\pmod{n_i}) 且 (e_i\equiv0\pmod{n_j}\ (j\ne i))。因此解为 [ x \equiv \sum_{i=1}^k a_i e_i \pmod{N}, ] 这就是熟悉的 CRT 构造公式。

（B）多项式情形 → 拉格朗日插值

取环 (R=\Bbbk[x])（(\Bbbk) 为域），理想 (I_i=(x-x_i))。当 (x_i) 两两不同，理想互补成立（更准确地 ( (x-x_i) + (x-x_j) = \Bbbk[x]) 因为 (x_i\ne x_j)）。于是 [ \Bbbk[x] \big/ \Big(\prod_{i=1}^k (x-x_i)\Big) \ \cong\ \prod_{i=1}^k \Bbbk[x]/(x-x_i). ] 注意 (\Bbbk[x]/(x-x_i)\cong\Bbbk)（通过评估映射 (f\mapsto f(x_i))）。因此左边的商环等价于“按点取值的 (k)-向量”： [ \Bbbk[x]/\bigl(\prod (x-x_i)\bigr) \cong \Bbbk^k. ] 构造幂等元的方式换成了拉格朗日基多项式。对每个 (i) 定义 [ L_i(x) ;=; \prod_{j\ne i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}. ] 显然 (L_i(x_i)=1)，(L_i(x_j)=0)（(j\neq i)）。在商环中，(L_i(x)) 的类就是前面一般证明中的 (e_i)。于是任意在点值上的向量 ((y_1,\dots,y_k)) 对应商类 [ p(x)\equiv \sum_{i=1}^k y_i L_i(x)\quad\bigg(\bmod\ \prod_{j}(x-x_j)\bigg), ] 并且当把等式提升到次数小于 (k) 的代表元时，就是拉格朗日插值多项式： [ p(x)=\sum_{i=1}^k y_i L_i(x). ]

幂等元（idempotent）视角的完全对应

两种情形的关键是构造一组互相正交且和为 1 的幂等元 (e_i)（即 (e_i^2=e_i,\ e_ie_j=0\ (i\ne j),\ \sum_i e_i=1)）。

在整数情形，(e_i \equiv N_i M_i)（模 (N)）是幂等元；
在多项式情形，(e_i = L_i(x))（模 (\prod (x-x_j))）是幂等元。

因此两者都是“用局部基元把全局单位分解成在每个局部唯一起作用的投影”。

小例子（帮助直观理解）

整数例子： (n_1=3,n_2=5)，(N=15)。 (N_1=5,\ N_2=3)。求逆： (5^{-1}\bmod 3 = 2,\ 3^{-1}\bmod 5=2)。所以 (e_1 \equiv 5\cdot2=10\pmod{15})，(e_2\equiv 3\cdot2=6\pmod{15})。若余数为 (a_1=1,a_2=4)，解为 (x\equiv 1\cdot10 + 4\cdot6 = 10+24=34\equiv4\pmod{15})。检验： (4\equiv1\bmod3,\ 4\equiv4\bmod5)。
多项式例子：两点 ((x_1,y_1)=(0,1),\ (x_2,y_2)=(1,3))。拉格朗日基多项式为 (L_1(x)=\dfrac{x-1}{0-1}=1-x,\quad L_2(x)=\dfrac{x-0}{1-0}=x.) 插值多项式 (p(x)=1\cdot(1-x)+3\cdot x = 1 - x + 3x = 1 + 2x)。在商环 (\Bbbk[x]/(x(x-1))) 中，(L_1,L_2) 就是把“在第1个点取值的投影”和“第2个点取值的投影”。

结语（概念回顾）

把“模 (n_i)”与“模 ((x-x_i))”做对应，就能把 CRT 与拉格朗日插值的公式完全对应起来。
二者的本质都是把全局环分解为若干局部环的直积，并通过互相正交的幂等元把“局部数据”拼回“全局对象”。
因此，从代数角度看，CRT 与拉格朗日插值不是两个偶然相似的技巧，而是同一代数现象在不同环境（整数环 vs. 多项式环）下的实例化。

如果你想，我可以继续：

给出更抽象的同构图（把具体映射与评估映射并列写出），
或者演示在复系数或有限域 (\mathbb{F}_q) 下的拉格朗日/CRT 应用（例如多项式插值在纠删码/编码论的作用）。

你想看哪一个？