Mathematical Analysis

continuous

设 \((X,d)\) 为度量空间, \(f:X\to\mathbb{R}.\)

其中 \(d=||\cdot||\)

uniformly continuous

\[ \forall\varepsilon>0\ \exists\ \delta>0\ \text{ s.t. }\forall x,y\in X,\quad d(x,y)<\delta \ \Longrightarrow\ |f(x)-f(y)|<\varepsilon.\]

absolutely continuous

设 \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\)

\[ \forall\varepsilon>0\ \exists\ \delta>0\ \text{ s.t. }\\ \qquad\text{对任意互不相交的有限开区间族 }\{(a_k,b_k)\}_{k=1}^m\subset[a,b],\ \text{若 }\sum_{k=1}^m (b_k-a_k)<\delta,\\ \qquad\text{则 }\sum_{k=1}^m |f(b_k)-f(a_k)|<\varepsilon\]

Lipschitz continuous

一致连续的强形式, 即斜率有限

\[\exists L\ge0\ \text{ s.t. }\forall x,y\in X,\quad |f(x)-f(y)|\leq C||x-y||.\]

其中 \(||\cdot||\) 可以是任意范数, \(L\) 称为 Lipschitz 常数

是一致连续但不是 Lipschitz 连续的函数: \(f(x)=\sqrt x\)

\(\alpha\) - Hölder continuous

\[|f(x)-f(y)|\leq C||x-y||^\alpha\]

其中 \(||\cdot||\) 可以是任意范数

Jacobian

\(F:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\), \(x\in \mathbb{R}^n\), \(y\in \mathbb{R}^m\)

可以写成 \(Y=FX, F\in \mathbb{R}^{m\times n}\)

那么 Jacobian \(J=[\frac{\partial y_i}{\partial x_j}]_{i,j}\in \mathbb{R}^{m\times n}\)

有 \(dY=[dy_1,\cdots,dy_m]^\top=JdX\)

gradient, divergence and curl

nabla

也叫哈密顿算子: \(\nabla=[\frac{\partial }{\partial x_i}]\)

几何意义上, 等于一个沿着 \(\vec e=[1,\cdots, 1]\) 单位向量的无穷小变化量

因为 \(\nabla\) 与 \(f\)

梯度

\[\nabla f=[\frac{\partial f}{\partial x_i}]\]

散度

\[\nabla \cdot f = \nabla^\top f=\sum_i \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\]

旋度

\[\nabla \times f = \]

gradient

某一点的标量值向各个维度方向的下降趋势

divergence

二维平面的向量函数 \(F(x,y)=[x, y]\)

Jacobian 为

\[ J_F = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial x} & \dfrac{\partial x}{\partial y} \\ \dfrac{\partial y}{\partial x} & \dfrac{\partial y}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \]

散度为

\[ \operatorname{div}F = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} = 1+1=2. \]

散度衡量的是场在某一点的净流出强度

正散度表示在该点有源, 负散度表示在该点有汇

例子中的平面上, 每一点的向量指向远离原点, 且长度随坐标变大而增加, 对应散度为 2, 表示在发散

curl

二维平面的向量函数 \(F(x,y)=[-y, x]\)

\([-y, x]\) 垂直于 \([x,y]\), 并且指向绕原点的逆时针方向