Schrödinger equation

构造

1. 两种算符

能量算符 \(i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\)

动量算符 \(-i \hbar \frac{\partial}{\partial x}=-i \hbar \nabla\)

2. 平面波方程

\(E(r,t)=E_0e^{i(kr-\omega t)}\)

3. de Broglie 关系

\(E=\hbar \omega, p=\hbar k\)

4. 开始构造

将 de Broglie 关系式带入平面波方程得出一般自由粒子波方程

\(\Psi (r,t)=Ae^{\frac i \hbar(pr-E t)}\)

又有 \(\int_{\infty}|\Psi(r,t)|^2dr=1\) 归一化，得到系数\(A=(2\pi \hbar)^{-3/2}\)

之后，将两种算符作用于波方程：

\(i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = E\Psi\)

\(-i \hbar \nabla \Psi = p \Psi\)

动量算符作用两次：

\(- \hbar^2 \nabla^2 \Psi = p^2 \Psi\)

同除以 \(2m\) 得到：

\(- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi = \frac{p^2}{2m} \Psi\)

由于能量等于动能加势能：

\(E=\frac{p^2}{2m}+V(r,t)\)

所以 \(i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(r,t)=(- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2+V(r,t))\Psi(r,t)\)

令 Hamilton 算符为 \(\hat H=- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2+V(r,t)\)

则 \(i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(r,t)=\hat H\Psi(r,t)\) 为薛定谔方程

• 注：\(|\Psi(r,t)|^2\) 表示粒子在某位置某时间出现的概率

进一步, 将 \(\Psi(r, t)\) 展开为 \(\Psi(r)e^{-i\omega t}\)

\(i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(r,t)=(- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2+V(r,t))\Psi(r,t)\to i \hbar (-i\omega) \Psi(r)e^{-i\omega t}=(- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2+V(r,t))\Psi(r)e^{-i\omega t}\)

\(\hbar\omega \Psi(r)=(- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2+V(r,t))\Psi(r)\)

并且 \(V(r,t)=V(r)\)

所以 \(E \Psi(r)=(- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2+V(r))\Psi(r)\) 为定态薛定谔方程