集合的势

证明实数集不可数

只需证明 \([0,1]\) 实数不可数

假设可数，存在一个数列 \(a_1,\cdots ,a_n, \cdots\)

我们对 \([0,1]\) 三等分，那么一定存在一个区间，使得它不包含 \(a_1\)

假设这个区间为 \([l_1, r_1]\)

继续对 \([l_1, r_1]\) 三等分，存在区间 \([l_2, r_2]\) 使得其不包含 \(a_2\)

一直到 \([l_n, r_n]\) 使其不包含 \(a_n\)

此时 \([l_i,r_i]\) 构成一列闭区间套

\(n\to\infty\)我们最后有一个实数 \(\epsilon \in R\) ，但是它不等于 \(a_1,\cdots ,a_n, \cdots\) 中的任何一个

所以得到矛盾，则实数集不可数

假设可数，存在一个数列 \(a_1,\cdots ,a_n, \cdots\) ，第\(i\)个数的小数部分表示为 \(0.d_{i1}d_{i2}\cdots d_{in}\cdots\)

则这个数列构成实数集

现在构造一个实数，其小数部分满足

\[ f_{i}=\left\{\begin{aligned} 4, d_{ii}\not = 4\\\\ 5, d_{ii} = 4 \end{aligned}\right. \]

则这个实数与 \(a_1,\cdots ,a_n, \cdots\) 都不相同，则它不属于实数集，与他是实数矛盾

所以实数集不可数

整数集可数，我们定义其势为\(\aleph_0\), 偶数集，奇数集，自然数集，质数集都与其等势

实数集不可数, 在 continuum hypothesis 成立的前提下，其势等于 \(\aleph_1\)

只需证明 \([0,1]\) 的实数集与整数集的幂集等势

假设一个实数表示为\(0.d_1d_2\cdots d_n\), 定义函数\(f:x\to \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), 满足\(f(n)=d_n\)

则任意的\(f(n)\) 可以拼接成 \(\overline{nd_n}\), 则可以与整数集一一对应

而任意实数可以表示成\(f(1),f(2),\cdots,f(n),\cdots\)

即实数可以与\(\{f(x)\}\)的子集一一对应

则实数可以与整数集的子集一一对应

即，实数集与整数集的幂集等势